Los sólidos platónicos

Uno de los temas que me generó bastante curiosidad cuando estudié matemáticas fue el de los sólidos platónicos. En la geometría plana (dos dimensiones), es posible construir polígonos regulares (donde todos los lados miden lo mismo) y además puede tenerse cualquier cantidad de lados, empezando por tres: triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc...

Lo sorprendente es que si queremos usar esos mismos polígonos para formar figuras tridimensionales conocidas como sólidos o poliédros regulares (donde todas las caras son iguales), estamos muy limitados. Resulta que en el espacio tridimensional solamente se pueden formar cinco cuerpos de este tipo, conocidos como los sólidos platónicos. A saber:

El tetraedro (cuatro triángulos equilateros como caras):

El hexaedro o cubo (seis cuadrados como caras):

El octaedro (ocho triángulos equiláteros como caras):

El dodecaedro (doce pentágonos regulares como caras):

El icosaedro (veinte triágulos equiláteros como caras):

Puede demostrarse de varias maneras que estos son los únicos sólidos que pueden construirse siguiendo ciertas reglas. Ni uno más ni uno menos. El filósofo griego Platón tiene un diálogo dedicado a la naturaleza conocido como El Timeo. En dicho diálogo, se propone que toda la materia está formada por una suerte de "átomos", los cuales solamente pueden tener una de las formas anteriores. De las propiedades de estos sólidos, se desprenden las propiedades de  los objetos del mundo físico. Al fuego le corresponde el tetraedro, la tierra está formada por cubos, los octaedros forman el aire y el agua por icosaedros. El quinto sólido, el dodecaedro, fue usada por el Demiurgo (una divinidad en el diálogo de Platón) para darle forma al Universo.

Cinco sólidos y cinco elementos

Si bien Platón no ahonda en las propiedades matemáticas de los sólidos, el Timeo es la primera fuente en el mundo occidental en donde los cinco sólidos aparecen mencionados como pertenecientes a un mismo grupo, y es por ello que se conocen como Platónicos.

Para mí fue muy sorprendente saber que sólo había cinco sólidos. ¿Por qué son solo cinco y no infinidad de ellos? ¿Por qué exactamente cinco y no veinte, o mil o un millón? ¿Qué tiene de especial ese número? En realidad las matemáticas no nos dan una respuesta. Al final el por qué de ese número es un misterio. 

Ese misterio hizo volar la imaginación de un famoso matemático, astrónomo y místico del siglo XVI llamado Johannes Kepler. Para él, este número debía tener un significado más profundo. En los tiempos de Kepler solamente eran conocidos los cinco planetas que pueden verse a simple vista desde la Tierra: Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. El hecho de que fueran cinco sólidos y cinco planetas no podía ser coincidencia para Kepler. Algo debía haber detrás de ello. 

Al astrónomo se le ocurrió que quizás ordenando los sólidos de cierta manera, metiendo unos dentro de otros, podía representar las distancias de los planetas al Sol. Para su buena suerte, sí existe una configuración de los sólidos que aproxima muy bien dichas distancias. Sus resultados fueron publicados en un libro llamado Mysterium Cosmographicum por allá de 1597.

Sistema planetario de Kepler usando los sólidos platónicos.

Los sólidos cumplen propiedades interesantes. Además de sus caras, podemos contar el número de vértices y aristas de cada uno de ellos. Por ejemplo; un tetraedro tiene 4 vertices, 4 caras y 6 aristas:

Si contamos para cada uno de los sólidos, encontramos los siguientes valores:

Lo primero a notar en la tabla es que existe una correspondencia entre el número de vértices de un sólido (segunda columna) con el número de caras de otro (cuarta  columna). Por ejemplo, un hexaedro tiene ocho vértices y seis caras, mientras para un octaedro es al revés, tiene seis vértices y ocho caras. Esto implica que el hexaedro es el sólido dual, o conjugado del octaedro.

El hexaedro (cubo) y el octaedro son sólidos duales o conjugados, uno tiene tantas caras como vértices el otro.

Lo mismo ocurre para el dodecaedro y el icosaedro. Quizás la "excepción" sea el caso del tetraedro, quien es su propio dual.

Por último, no podemos dejar de mencionar la llamada "característica de Euler", en honor al matemático suizo Leonhard Euler. Resulta que todos los sólidos cumplen que si restamos el número de aristas al número de vertices, y después sumamos el número de caras, el resultado siempre será 2 (ver quinta columna de la tabla). Es una propiedad topológica que nos dice que si los sólidos estuvieran hechos de un material maleable, podríamos transformar uno en otro sin que el material se rompiera...

En fin, podría escribirse todo un tratado de los sólidos platónicos. Yo solamente me deleito, como Kepler, de las misteriosas propiedades matemáticas (y quizás místicas) de tan peculiares figuras.